쉽게 배우는 동역학
강체역학
vidvi
2025. 3. 11. 11:08
챕터 3: 강체역학
강체역학(Rigid Body Dynamics)은 물체가 변형 없이(즉, 강체로 가정) 회전·병진·복합운동을 할 때의 거동을 다루는 학문 분야입니다. 흔히 ‘동역학’에서 가장 핵심이 되는 파트 중 하나로, 다양한 기계·구조물·로봇 팔 등에 적용됩니다. 이 장에서는 강체의 운동방정식, 회전운동 특성, 관성 모멘트, 병진과 회전이 결합된 복합운동 등을 간략히 살펴봅니다.
1. 강체의 개념
- 강체(Rigid Body)의 정의
- 강체는 하중을 받아도 내부 구조에 ‘상대적인 변형’이 발생하지 않는 이상화된 물체를 말합니다. 즉, 어떤 외력이 작용해도 물체를 이루는 모든 점들 사이의 거리가 변화하지 않는다고 가정합니다.
- 실제 대부분의 물체는 미세한 탄성변형을 일으키지만, 많은 공학적 상황에서 그 변형이 매우 작으면 강체로 단순화해 분석해도 큰 오차가 없습니다.
- 강체 역학의 중요성
- 기계 부품, 로봇 팔, 구조물(철골 빔, 베어링 등)을 설계·분석할 때 먼저 강체 역학으로 운동과 힘을 이해한 뒤, 추가적으로 재료역학(탄성, 변형) 관점까지 확장하는 경우가 많습니다.
2. 강체의 병진운동(Translation)
- 병진운동의 정의
- 모든 질점이 동일한 가속도와 속도를 가지며, 평행 이동하는 운동 형태입니다. 회전 없이 직선 또는 곡선 궤적으로 움직일 수 있으나, 물체 내부 각 지점 간 상대 변위가 없습니다.
- 운동방정식
- 강체가 질량 mm이고, x방향으로만 움직인다고 하면, 뉴턴의 운동법칙(제2법칙)에 의해 다음과 같이 표현할 수 있습니다. ΣFx=max,ΣFy=may,ΣFz=maz \Sigma F_x = m a_x,\quad \Sigma F_y = m a_y,\quad \Sigma F_z = m a_z
- 2차원 문제라면 보통 ΣFx=max\Sigma F_x = ma_x, ΣFy=may\Sigma F_y = ma_y만 사용합니다.
- 병진운동에서의 동역학적 해석
- 병진운동 시에는 모멘트(토크) 분석이 중요치 않을 수 있습니다(회전 없음). 하지만 물체에 작용하는 외력들의 합이 0이 아니라면 가속도가 발생합니다.
- 무게(중력), 반력, 마찰력, 외부 추진력 등을 고려해 실제 운동 궤적을 결정합니다.
3. 강체의 평면 회전운동(Rotation)
- 회전운동의 기본 개념
- 강체가 2차원 평면에서 어떤 고정축(혹은 축을 기준)으로 회전하는 운동.
- 각속도(ω\omega), 각가속도(α\alpha)라는 개념을 사용하며, 질점계로 생각할 때 전체가 하나의 각속도로 움직입니다.
- 회전운동 방정식
- 뉴턴의 회전 운동법칙: ΣMO=IOα \Sigma M_O = I_O \alpha 여기서 ΣMO\Sigma M_O는 선택한 축 OO에 대한 합력모멘트(토크)의 총합, IOI_O는 축 OO에 대한 관성모멘트, α\alpha는 각가속도입니다.
- 관성모멘트(Moment of Inertia)
- 강체 내부의 질량이 회전축에서 얼마나 떨어져 분포되어 있는지를 나타내는 지표.
- 질량 mm이 모여 있는 반경 rr에 대해 I=∑mr2I = \sum m r^2 (이산계) 또는 I=∫r2dmI = \int r^2 dm (연속체)로 정의됩니다.
- 회전축이 달라지면 관성모멘트도 달라지므로, 축 선정이 매우 중요합니다(‘주축’, ‘병렬축 정리’ 등).
- 평면에서의 운동 방정식
- 병진 + 회전이 결합된 2D 문제의 경우, 힘의 평형식과 모멘트 평형식을 동시에 써야 합니다.
- 일반적으로 2D에서 다음과 같은 세 가지 독립 방정식을 사용: ΣFx=maGx,ΣFy=maGy,ΣMG=IGα \Sigma F_x = m a_{Gx}, \quad \Sigma F_y = m a_{Gy}, \quad \Sigma M_G = I_G \alpha 여기서 GG는 질량중심(Center of Mass) 위치, IGI_G는 질량중심을 기준으로 한 관성모멘트.
4. 병렬축정리(Parallel Axis Theorem)와 기초 응용
- 병렬축정리
- 강체의 관성모멘트를 특정 축(예: 질량중심 축)에서 이미 알고 있다면, 평행하게 이동된 새로운 축에 대한 관성모멘트를 구할 수 있습니다.
- 응용 예시
- 로봇 관절 설계: 로봇 팔의 각 관절 회전축이 질량중심에서 떨어진 경우 병렬축정리를 사용해 관성모멘트를 계산.
- 차량 바퀴/플라이휠 등: 축 위치가 질량중심과 다를 때 토크 계산 시 활용.
5. 강체의 3차원 운동 개요
- 공간 회전운동
- 3차원에서 강체가 임의축 회전하면, 오일러 각(Euler Angles), 쿼터니언(Quaternion) 등을 통해 방향을 표현해야 할 만큼 복잡해집니다.
- 주관성모멘트(Principal Moment of Inertia), 이너시아 텐서(Inertia Tensor) 개념이 도입됩니다.
- 오일러 방정식(Euler’s Equations)
- 3차원 강체운동에서, 고정된 공간축이 아닌 물체고유의 축(주축 등)에 대해 회전운동 방정식을 기술할 때 사용.
- 고회전 모터/로터 등 항공우주 분야에서 매우 중요.
- 이 장에서의 범위
- 보통 기초 동역학에서 2차원 평면 회전과 병진-회전 결합운동 정도까지 다루고, 3차원 운동은 개략적 수준으로 언급.
- 고등 단계로 갈수록 항공우주나 로봇 공학에서 본격적으로 3D 운동 해석이 중요해집니다.
6. 운동에너지와 일-에너지 원리(강체)
- 강체의 운동에너지
- 물체가 병진·회전 결합 운동을 할 경우, 전체 운동에너지는 병진 운동에너지와 회전 운동에너지를 합한 형태: T=12mvG2+12IGω2 T = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} I_G \omega^2 여기서 vGv_G는 질량중심 GG의 선속도, ω\omega는 각속도, IGI_G는 GG축에 대한 관성모멘트.
- 일–에너지 원리
- 외력이 물체에 한 일의 합 = 운동에너지 변화량 Wtotal=ΔT W_{total} = \Delta T
- 병진 + 회전이 결합된 경우, ΔT=Δ(12mvG2+12IGω2) \Delta T = \Delta (\frac{1}{2}mv_G^2 + \frac{1}{2}I_G \omega^2)
- 마찰이나 내부 비가역이 있으면, 실제 계산 시 에너지 손실 항이 추가됩니다.
- 외력이 물체에 한 일의 합 = 운동에너지 변화량 Wtotal=ΔT W_{total} = \Delta T
7. 결론 및 활용
- 강체역학은 물체 변형을 고려하지 않는 이상화된 모델이지만, 실제 구조물이나 기계부품 설계 전 기초 해석 단계에서 매우 유용합니다.
- 병진이나 회전만 다루는 단순 운동부터, 병진 + 회전이 복합적으로 일어나는 2D 문제까지 광범위하게 적용 가능합니다.
- 3차원 해석으로 확장하려면 관성모멘트 텐서, 오일러 각, 모션 행렬 등을 학습해야 합니다.
- 현대 공학에서 로봇공학, 항공우주, 자동차, 에너지 플랜트, 나노기술 등에 이르기까지 다양한 분야에서 활용됩니다.
정리:
- 강체의 정의와 병진·회전의 기본 방정식을 이해하면, 대부분의 기초 동역학 문제를 해석할 수 있습니다.
- 질량중심 주변의 관성모멘트가 핵심이며, 병렬축정리 등을 통해 다른 축에 대한 모멘트도 쉽게 구할 수 있습니다.
- 일·에너지 원리, 운동량 보존, 충격 등 다른 개념들과 결합해 더욱 복잡한 문제를 풀 수 있습니다.